Les théories pré espace-temps (partie 3)

Voilà avec beaucoup de retard la conclusion de mon article sur les théories pré espace-temps.

Dans les parties précédentes, j'ai défini ce que j'ai appelé la définition "AB" de l'Univers, à savoir :

L'Univers est l'ensemble de toute chose ET la sphère causale.

D'après cette définition, j'en avais déduit que l'Univers ne peut avoir été créé que par lui-même, autrement dit, l'Univers est né du néant.

Le principal problème est : comment passer de "rien" à "tout", sachant que dans l'univers physique que l'on connaît, le principe de conservation doit être valable, mais que celui-ci ne l'est nécessairement pas à l'origine du temps ?

Je vais tenter ici de présenter la seule approche (à mon sens) qui donne une réponse pertinente à ce problème : il s'agit de la théorie de la singularité initiale des frères Bogdanov.

Encore une fois, je précise que cette théorie est très controversée et qu'elle ne fait certainement pas l'unanimité au sein de la communauté scientifique. Je ne souhaite pas discuter ici de l'Affaire Bogdanov, mais simplement des idées de cette théorie, mais si vous souhaitez vous exprimer à ce sujet, vous pouvez toujours poster un commentaire.

La théorie de la singularité initiale

Je ne reviendrais pas ici sur le modèle standard du Big Bang (Wikipédia est là pour ça), mais seulement sur les points importants communément admis :

- Le Big Bang n'est pas l'instant zéro de l'Univers mais se situe au plus petit instant physiquement déterminé, environ 10^-43 secondes "après" le zéro, on appelle ce temps "temps de Planck" (Tp)
- "Avant" Tp, aucune propriété physique (masse, impulsion...) ne peut être déterminée à cause du principe d'incertitude de Heisenberg

On peut se poser la question suivante : le temps "avant" Tp existe t-il ?

Ici tous les physiciens répondront en un éclair que non seulement un tel temps n'existe pas mais aussi que la question elle même n'a pas de sens. Rien n'existe en dessous de Tp, l'Univers commence réellement à Tp, d'où l'expression "Mur de Planck".

Pourtant "indéterminé" ne veut pas dire "inexistant". "Indéterminé" devrait à mon sens être vu au sens de "indécidable" dans le système physique : On peut alors imaginer d'étendre ce système pour lever cette indétermination, étendre notre "univers physique" au delà du mur de Planck.

Comme je l'ai dit dans les parties précédentes, d'autres scenarii pré-Univers bien plus audacieux ont été avancés (multivers, branes...) et semble t-il beaucoup plus facilement acceptés. Ici pourtant rien de tout cela, juste une "toute petite" extension : nous rajoutons à notre Univers l'intervalle de Tp à zéro. Quelles seraient les conséquences de cette extension ? Que pourraient-elles nous apporter de nouveau ? Voici quelques pistes :

- Tout d'abord comme je l'ai déjà dit, on peut envisager la possibilité que l'Univers ait été créé du néant. Pourquoi ? Tout simplement parce que l'extension que nous avons ajouté ne fait pas partie de l'Univers physique : entre Tp et zéro, nul besoin de respecter le principe de conservation énergie/matière (d'ailleurs il est par définition non respecté).
- Un indice nous conforte dans cette idée : Le théorème de Noether indique que la conservation énergie/matière n'est pas respectée lorsque la symétrie temporelle est brisée (ce qui est le cas à zéro).
- On peut dire que l'Univers n'existe pas à zéro, ou qu'il "existe en tant qu'ensemble vide". L'entropie de l'ensemble vide est 0. L'intervalle [zéro,Tp] peut être vu comme une phase de transition pendant laquelle l'entropie "augmente progressivement pour arriver à une valeur non nulle" (si la notion de "progressif" ici peut sembler bizarre on peut imaginer un "pic", de toute façon, il n'y a pas de notion de temps "physique"...)
- L'entropie de notre Univers étendu est donc minimale à zéro. Par définition, l'information (duale de l'entropie) y est maximale, d'où l'idée plutôt simple des Bogdanov de dire qu'à zéro tout n'est qu'information.
- Entre zéro et Tp, la quantité d'information diminue tandis que l'entropie augmente. Lorsque cette entropie atteint une valeur critique (j'ai faillit écrire "entropie de Planck", mais une rapide recherche m'apprend que quelque chose de similaire existe sous le nom de "constante de Boltzman"...), l'état du système bascule au delà de l'incertitude d'Heisenberg et les particules physiques sont alors déterminées.

Le temps complexe

Les Bogdanov proposent d'utiliser le formalisme des nombres complexes pour décrire le temps entre zéro et Tp. Au delà du symbolisme (approprié) qu'il peut y avoir entre "temps réel" et "temps imaginaire", il est nécessaire de distinguer ces deux quantités car en dessous de Tp, nous n'avons plus le droit de parler de "temps réel". Pour autant, il est nécessaire de combiner les deux car comme on l'a dit, on imagine une phase de transition qui permet d'atteindre un Tp en "temps réel" avec une valeur non nulle.

Les fluctuations d'espace-temps

L'Univers "physique" (t>Tp) occupe 4 dimensions : 3 d'espace, 1 de temps, cette configuration est notée +++-. On parle d'espace Lorentzien.

Entre zéro et Tp, le temps étant complexe, l'Univers est à ce "moment" là à 5 dimensions. Le temps imaginaire ce n'est plus du temps, on considère donc qu'il s'agit d'espace il y a donc 4 d'espace, 1 de temps : ++++/- (le slash signifie qu'il y a transition ou "fluctuation").

Au voisinage de zéro, la composante "réelle" du temps devient nulle, tandis que rien n'empêche la composante "imaginaire" d'avoir une valeur quelconque (la seule contrainte étant qu'elle soit elle aussi nulle à zéro). Donc, au voisinage de zéro, on peut dire que l'Univers n'a plus que 4 dimensions d'espace, noté : ++++. On parle d'espace Euclidien.

Les Bogdanov proposent donc qu'entre zéro et Tp, la configuration de l'espace-temps (la "signature") fluctue entre un espace Euclidien et un espace Lorentzien.

Le temps zéro ?

A zéro, il ne reste que de l'information. A priori, on ne peut pas l'annihiler, on pourrait s'arrêter ici en concluant que le néant "absolu" n'existe pas et qu'on trouve à la place cette information intemporelle. Mais alors, nous nous retrouvons dans une situation analogue à notre mur de Planck.

Ici, les Bogdanov imaginent un Big Bang "froid" (et intemporel) qui expliquerait l'apparition de cette information à partir du néant (ensemble vide).

Cette partie est sans doute la plus abstraite et spéculative, mais là encore, elle est justifiée par le soucis de proposer une cosmogonie complète, qui va du néant absolu jusqu'à l'Univers physique.

Ils imaginent ici un "moteur mathématique" et donnent un exemple simple. Un "compteur" d'information, qui énumère les "bits" d'Univers au fur et à mesure qu'il les construit. Si on note l'ensemble vide {} et le compteur card(X) = Nombre d'éléments de l'ensemble X. Ce "moteur" pourrait ressembler à :

card({}) = 0
card({0}) = 1
card({0,1}) = 2
...

S'ensuit la construction de la "boule des nombres" : Un ensemble qui s'étend à l'infini. L'information contenue dans cette boule étant l'information intemporelle que nous avions tout à l'heure.

Ils se posent enfin la question ultime : qu'est-ce qui est à l'origine de ce "moteur" mathématique si tant est qu'il existe ? Ici on peut répondre de 2 façons :
- Rien (le "moteur" mathématique existe de toute façon par lui même)
- Une impulsion (qui "insuffle la vie" à notre moteur mathématique)

A mon sens, ce dernier choix n'a plus rien de scientifique mais est du domaine du spirituel. Les Bogdanov choisissent la deuxième réponse : l'explication ultime est un "pic" de dirac, on ne peut expliciter davantage, cela laisse une place au mystère de Dieu.

Mon choix serait plutôt le premier...

Fin du voyage

J'ai bien conscience que beaucoup de ce que j'ai raconté là peut être pris pour des divagations, les idées peuvent sembler simplistes, vagues, mal définies, floues...

D'une part, j'ai énormément résumé et simplifié (trop ?) les idées des Bogdanov, je vous invite donc à parcourir leurs documents par vous mêmes (livres, thèses...). Il existe d'autres arguments en faveur de leurs idées que j'aurai pu présenter : la théorie holographique qui suggère que toute l'information de l'univers soit stockée à la singularité, le "fameux" théorème des produits bicroisés cocycliques qui montre qu'une telle fluctuation est possible d'un point de vue géométrique et la condition KMS qui indique que si l'Univers était dans un certain état d'équilibre à cette époque, alors cette fluctuation a pu avoir lieu.

D'autre part, les Bogdanov ont tenté d'aller au fond des choses avec leurs idées, cela peut sembler présomptueux et peut-être trop "absolu" pour certains pour que l'on puisse qualifier cette approche de scientifique. La recherche d'une cause ultime a toujours été tabou en science. La religion s'est emparée du sujet de la création a tel point que les scientifiques se sont toujours interdit de réfléchir à ce sujet de peur que leur travail soit considéré comme mystique.

Pourtant, je ne peux m'empêcher de penser qu'il y a dans tout cela un fond de vérité et en tout cas une originalité et une volonté certaine de dépasser les problèmes, je dirais presque du courage, car pendant des années ils ont dû lutter pour tenter de construire leur réponse alors qu'on l'a vu beaucoup de  scientifiques se désintéressent de la question même. Aujourd'hui les mêmes scientifiques qui auraient tout fait pour empêcher ce travail leur reprochent un manque de rigueur, alors qu'il s'agit pour moi tout simplement d'un manque de moyens et de soutien.

Il est facile de critiquer, de faire des procès d'intention, de prétendre que tout ça c'est du vent et que n'importe qui aurait pu l'inventer. Il n'empêche qu'il n'y a eu qu'eux pour le raconter, qu'ils l'ont bien raconté et que leur raisonnement suit une logique qui dépasse celle de leur propre intérêt ou de simples artifices.

L'avenir pourra peut-être nous dire s'ils ont eu tort. Il est peu probable qu'il nous confirme qu'ils aient eu raison même si c'était le cas. Pour ma part, je ne renierai pas que je trouve leurs idées élégantes et pertinentes.

Contre l'élitisme scientifique

Dans le cadre de mon article sur les théories pré-Univers, j'ai essayé de me documenter et de recueillir les avis de différentes personnes sur ce sujet et plus précisément sur les travaux des frères Bogdanov.

J'ai donc participé à un forum "anti"-Bogdanov pour tenter de savoir en quoi leur théorie n'avait "aucun sens" : http://ybmessager.free.fr/epiphysique/forums/phpBB2/

J'ai tenté dans mes interventions de présenter les points qui me semblaient intéressants et j'ai demandé aux intervenants de m'expliquer point par point les incohérences.

J'ai pu recueillir quelques arguments intéressants, comme par exemple l'impossibilité de donner une interprétation physique aux modèles pré-Univers.

Cependant, la plupart de mes questions sont restées sans réponses.

Les intervenants, dont je ne citerai pas le nom, m'ont littéralement descendu et ont refusé de répondre à mes questions et de clarifier les problèmes de fond, pour rendre les objections à cette théorie intelligibles.

J'ai été ce matin banni de ce forum avec un sous-entendu déplorable (mon dernier post m'a renvoyé sur le site des Bogdanov...)

Alors puisque YBM (oups) ne souhaite pas que "n'importe qui" puisse s'exprimer dans son forum, qu'il aille donc se faire foutre, il y a plus de 10 milliards de pages sur le net, alors une de plus ou de moins...

Je ne supporte plus cet élitisme sur certains forums, où les intervenants pensent savoir tout sur tout et se moquent dès qu'une personne commet une erreur ou ne commprend pas quelque chose.

Pire que çà, ces gens là veulent supprimer l'imagination et le libre arbitre de la science, sous couvert de rigueur.

Alors pour tous ceux qui sont frustrés et qui en ont marre de ces connards, je les invite volontiers à participer sur mon blog.

A bientôt !

Les théories pré-espace temps (partie 2)

Dans la première partie, nous avons vu les deux théories les plus en vogue concernant la création de l'Univers : A1 (scénario ekpyrotique) et A2 (scénario du multivers). Ces deux théories correspondent à la définition A (scientifique) de l'Univers.

Avant de présenter une théorie du pré-Univers alternative, j'aimerai pointer les problèmes posés par les théories A1, A2 et plus généralement par toutes les théories pré-Univers basées sur la définition A.

Les problèmes des théories Ax

Le point commun entre toutes ces théories est que l'Univers (sphère causale) ne représente justement pas "l'ensemble de toute chose" : on admet qu'il puisse exister en dehors de la sphère causale un méta-système qui l'a engendré.

Cette hypothèse est - à mon avis - motivée par deux raisons que l'on a déjà évoqué dans la première partie :

• Le principe de conservation de l'entropie (énergie/matière)
  
• Le principe anthropique
  

D'après moi, ces deux principes ne sont pas justifiés lorsqu'on tente d'établir un modèle pour la création de l'Univers, j'expliquerai plus loin pour quelles raisons.

Problème 1 : Le principe de conservation de l'entropie

Au début du XXème siècle, Emmy Noether, une mathématicienne Allemande a démontré un des plus beaux théorèmes qui s'applique à la physique théorique.

Vous pourrez trouver un site très pédagogique sur le théorème de Noether ici : http://semsci.u-strasbg.fr/noether.htm

Le théorème de Noether nous dit que chaque loi de conservation correspond à une symétrie sur le système considéré : Le principe de conservation de l'énergie correspondrait à la symétrie de translation temporelle.

Citons un passage du site ci-dessus, qui définit cette symétrie : "L'invariance par translation dans le temps rend l'origine du temps inobservable, assurant par la même la conservation de l'énergie".

On en déduit que la conservation de l'énergie est valable en tout point de l'espace-temps, sauf - justement - à l'origine du temps. (c'est du moins ce que j'en ai déduit...).

Problème 2 : Le principe anthropique

Le principe anthropique est valable en supposant l'existence d'un grand nombre d'Univers possibles et du fait qu'on ne dispose d'aucun critère, autre que notre existence, pour expliquer l'Univers dans lequel nous vivons.

Ce principe est en ce moment très à la mode dans un autre domaine de la physique : la théorie des cordes. En effet, la théorie des cordes possède un très grand nombre de paramètres que l'on peut ajuster pour obtenir des théories très différentes. Les cordistes appelent cet ensemble le "paysage" et justifient le choix du "bon" paysage par le principe anthropique.

Ici, nous sommes dans un cas légèrement différent : pourquoi supposer que la création de l'Univers (sphère causale) est un événement "multiple" ?

En fait, ce choix est justifié uniquement par la définition A : l'Univers est la sphère causale, mais pas "l'ensemble de toute chose", on peut donc supposer qu'il existe "autre" chose (donc de multiples sphères causale) en dehors de la nôtre.

On se retrouve alors dans un raisonnement cyclique : les théories Ax sont basées sur le principe anthropique, car le principe anthropique est basé sur la définition A !

Mais avant de remettre en cause la définition A, il me reste un problème important à examiner. Un problème plus fondamental, qui s'appliquera de toute façon, à toutes les théories - quelle que soit la définition de l'Univers.

Problème 3 : La preuve expérimentale

Bernard Weber - dont je suis fan - disait à juste titre "Pour comprendre un système, il faut s'en extraire" (je ne suis d'ailleurs pas sûr que cette citation soit de lui, bref...).

Toutes les théories pré-Univers sont
et resteront vraissemblablement spéculatives, pour quelle raison ? Eh bien, que l'on prenne la définition A ou B, nous nous trouvons dans une sphère causale dont nous ne pouvons sortir. Si nous supposons qu'il existe des membranes ou d'autres sphères causales en dehors de la nôtre, nous ne pourrons malheureusement jamais le savoir, du moins directement.

Il pourrait effectivement exister des "indices" en faveur d'une ou l'autre théorie, mais en réalité, ces indices nous montreraient simplement que la création de notre sphère causale n'est pas incompatible avec telle ou telle théorie.

En fait, tout ce que nous imaginons au delà de notre sphère causale n'a aucune justification, si ce n'est par exemple, que le taux d'expansion de notre sphère causale pourrait correspondre à un cycle expansion/contraction de l'Univers (il se trouve que c'est un mauvais exemple car il semble que notre sphère causale soit en fait en expansion accélérée, mais ceci est un autre débat...).

Alors si tout ce que l'on imagine au delà de la sphère causale n'est pas justifié, pourquoi l'imaginer ?

On peut supposer que l'Univers est la sphère causale, tout en étant "l'ensemble de toute chose". (Je suis enfin d'accord avec les scientifiques et les religieux sur la définition du mot Univers !)

Unification des définition A et B

Posons donc notre nouvelle définition de l'Univers, que l'on pourrait appeler A+B, ou AB pour les puristes...

Définition AB : L'Univers est l'ensemble de toute chose, c'est à dire la sphère causale

Cette définition de l'Univers bénéficie d'un principe supplémentaire, qui est souvent essentiel dans la nature (même s'il est parfois trompeur) : le principe d'économie : Il n'existe rien en dehors de la sphère causale.

Maintenant que nous possédons une nouvelle définition, quelles théories pré-Univers peut-on formuler ?

Et bien, il me semble qu'il n'y a que deux possibilités :

• Théorie AB1 : l'Univers n'a pas eu de création et donc a toujours existé. Cette théorie semble peu probable si on considère la théorie du Big Bang.
• Théorie AB2 : "l'Univers s'est créé lui-même" à partir... de rien. Je développerai cette théorie un peu plus bas.
  

Mon point de vue :

Si vous avez lu ma "démonstration" dans la première partie, vous "savez" déjà que Dieu = Univers. Je trouve amusant que l'expression "L'Univers s'est créé lui même" est alors équivalente à "Dieu à créé l'Univers". Mais revenons à notre théorie AB2...

Théorie AB2 : l'Univers s'est créé lui-même à partir de rien

Cette phrase peut sembler absurde (et je sais que pour beaucoup elle l'est certainement...). Cependant, je voudrai insister sur deux points qui la justifient, en suivant la définition AB :

• Il n'existe rien en dehors de l'Univers lui-même, donc rien n'est susceptible de l'avoir créé
• La théorie de la relativité générale montre clairement que l'Univers est dynamique, l'Univers ne peut donc pas "toujours avoir existé"
  

Quelles sont les objections a cette théorie ? Et bien - à ma connaissance - aucune, si ce n'est les deux problèmes que nous avons identifié pour les théories Ax :

• Le principe de conservation de l'énergie n'est pas respecté
• Le principe anthropique n'est pas valable

N'étant pas physicien, je ne peux pas développer davantage cette théorie que j'ai appelé AB2.

Cependant, peut-être serez-vous surpris de savoir que d'autres ont déjà tenté de développer une telle théorie ? Je veux parler bien-sûr de la théorie de la singularité initiale de Igor et Grishka Bogdanov.

Mon point de vue :

Cette théorie est bien sûr très controversée et j'ai longtemps hésité avant de prendre parti pour cette théorie de peur d'être considéré comme un imbécile par mes (quelques) lecteurs (potentiels).

J'ai eu connaissance de cette théorie en juin 2004, lors de la sortie du livre - lui aussi très discuté - "Avant le Big Bang". J'ai lu 2 ou 3 fois ce livre, en alternance avec d'autres livres, considérés comme "plus sérieux".

Malgré toutes les oppositions et tous les arguments - en apparence bien fondés - à l'encontre de cette théorie et des frères Bogdanov, je ne pouvais m'empêcher d'admirer cette théorie.

Je dois bien l'avouer aujourd'hui, je suis un "pro-Bogda", ou plutôt un "pro-théorie de la singularité initiale", pour ne pas être assimilé à un fan inconditionnel des frêres Bogdanov (bien que j'apprécie leurs émissions).

Dans la prochaine partie, je tenterai donc de présenter la théorie AB2 : Théorie de la singularité initiale, des frêres Bogdanov.

Je tiens à donner une dernière précision aux "anti-Bogda" : comme je l'ai dit précédemment - et comme les Bogdanov le reconnaissent eux-mêmes - toute théorie pré-Univers est spéculative. Il n'y a donc à priori aucune raison de ne pas considérer la théorie AB2 avec la même crédibilité que les théories Ax.

A suivre...

Les théories pré-espace temps

J'ai souhaité écrire cet article pour tenter de faire un petit état des lieux, à mon niveau, des théories qui décrivent la création de l'univers - ou plus précisément ce qui a engendré l'Univers - et discuter les hypothèses qui sous-tendent ces théories.

Vous trouverez aussi dans cet article quelques réflexions subjectives un peu "métaphysiques", j'ai annoté ces passages "Mon point de vue".

Avant toute chose, pour se mettre d'accord sur le vocabulaire, je tenterai de donner une, ou plutôt deux définitions de l'univers.

Définition A (scientifique) : L'Univers est la sphère causale qui englobe toute les ondes, particules et forces physiques

Définition B (sémantique) : L'Univers est l'ensemble de toute chose.

La définition A que j'ai surnommée "scientifique" est celle - me semble t'il - qui est admise par la communauté scientifique.

La définition B est plutôt "sémantique", elle s'intéresse à ce que signifie le mot Univers, indépendamment des connaissances scientifiques actuelles.

Comme je l'ai précisé, les théories pré-Univers proposées au sein de la communauté scientifique portent toutes (à ma connaissance), sur la définition A. La définition B quant à elle paraît plus métaphysique et il semble donc difficile d'élaborer un modèle concret à partir d'une définition aussi vague. Examinons donc les théories pré-Univers compatibles avec la définition A. J'appelerai ces théories Ax, x étant l'ordre dans lequel j'en parle (ayant une très faible connaissance de ces théories, je n'ai aucune préférence particulière)

Une dernière précision : je ne prétend pas donner une explication complète ni même correcte de chaque théorie évoquée ci-dessous, j'essayerai simplement d'en résumer l'idée principale. Toutes les précisions ou corrections seront les bienvenues.

Théorie A1 : Le scénario ekpyrotique

L'Univers ("sphère causale") serait issu du "choc" entre deux membranes à plusieurs dimensions (au sens de la théories des cordes). Ces membranes seraient en mouvement périodique, qui engendrerait un cycle création/destruction de l'Univers, à priori infini.

Théorie A2 : Le scénario du Multivers

L'Univers serait une "bulle" causale, engendré par une autre bulle-Univers causale. Il existerait une infinité (?) d'Univers connectés les uns aux autres dans une sorte d'arbre, que l'on pourrait appeler le Multivers.

Ces deux théories - j'imagine, comme d'autres théories Ax - ont un avantage indéniable : elles permettent de respecter le principe de conservation de l'entropie (énergie/matière). En effet, la sphère causale est vue comme le résultat d'une interaction entre d'autres éléments, dans un système plus grand (les membranes ou le multivers) : rien ne se crée, rien ne se perd, etc.

Cependant en faisant cela, ne retombe t'on pas finalement sur la même question, légèrement transformée : Au lieu de se demander "d'où vient l'Univers ?" on se demande maintenant "d'où viennent les membranes ?" ou "d'où vient le Multivers ?" ...

Je ne connais pas l'explication pour la théorie ekpyrotique, je peux cependant citer l'argument de la théorie du Multivers : Le Multivers représente l'ensemble de tous les Univers possibles, il n'y a donc pas d'explication - ou de choix - à l'origine de son existence. Donc pour revenir à nous, nous existons dans notre Univers car c'est celui dans lequel on existe : il s'agit de l'argument anthropique. J'imagine que la théorie ekpyrotique avance un argument un peu similaire, du style : chaque cycle engendre un Univers différent qui au final créé tous les Univers possibles, on peu alors avancer l'argument anthropique.

Un dernier point commun qui me semble essentiel entre ces 2 théories est l'aspect "infini" du méta-système (membranes ou multivers), par opposition à la taille "finie" de l'Univers (sphère causale).

En outre, ce que j'ai appelé le méta-système (membranes ou multivers) semble correspondre maintenant à la définition B : L'ensemble de toute chose.

Mon point de vue :

Depuis que je suis tout petit, j'adhère à la définition B. Pour moi, l'Univers ne peut-être que l'ensemble de toute chose : si l'on trouve quelque chose qui englobe l'Univers connu, alors on devrait appeler ce nouvel ensemble l'Univers.

J'aimerai au passage donner ma "démonstration" (un peu tirée par les cheveux, il est vrai...) de la non existence de Dieu avec cet argument :

Supposons que Dieu existe et a créé l'Univers. L'Univers étant l'ensemble de toutes chose (B), on en déduit que Dieu est inclus dans l'Univers. Supposons enfin, comme c'est le cas - à ma connaissance - dans les 3 grandes religions monothéistes, que Dieu "est partout", autrement dit que l'Univers est inclus dans Dieu. Ces deux concepts étant inclus l'un dans l'autre, on en déduit qu'il sont égaux : le mot Dieu, désigne la même chose que le mot Univers. On peut penser soit que Dieu n'existe pas, que ce n'est qu'un autre terme pour définir l'Univers, soit que l'Univers est Dieu (pour les plus croyants).

Je tiens à préciser que le point - à mon avis - sur lequel les religieux ne sont pas d'accord avec ce raisonnement est la définition B de l'Univers : L'Univers n'est pas l'ensemble de toute chose, car Dieu n'est pas DANS l'Univers, Dieu l'a créé.

Pour conclure ce point de vue, il semble que "ma" définition de l'Univers ne soit ni acceptée par les scientifiques, ni par les religieux (je suis tout seul ...snif) . Plus étonnant encore, il semble même, d'après la remarque que j'ai faite dans le paragraphe précédent, que la définition A de l'Univers soit la même pour les scientifiques ET pour les religieux (aurions nous trouvé un point d'entente ?)

Je reviendrai dans la prochaine partie sur les théories A1 et A2 et j'essayerai de défendre "ma" définition B en présentant une théorie que j'appellerai - à priori - B1.

A suivre...

P = NP : problème ou illusion ? (partie 3)

Dans la deuxième partie , nous avons calculé la complexité de la multiplication scolaire à N chiffres : il s'agit d'un calcul à temps quadratique, nous avions vu que l'addition scolaire est un calcul à temps linéaire dans la première partie

Nous avions conclut que ces deux opérations appartiennent à l'ensemble P, qui représente l'ensemble des calculs déterministes à temps polynomial.

Dans la conjecture P = NP, l'ensemble NP représente les calculs non déterministes à temps polynomial. Mais avant de revenir sur cet ensemble plus en détail, il nous faut voir une dernière notion.

Avant, je dois préciser que certains passages peuvent contenir des erreurs pour deux raisons : d'une part, je ne suis pas un spécialiste de la théorie de la complexité et encore moins du problème P = NP. D'autre part, je présenterai à certains endroits mon point de vue, qui là encore peut contenir des erreurs ou même sembler simpliste aux spécialistes, vous voilà prévenus...

Les calculs à temps exponentiel

Imaginons que l'on souhaite connaître le nombre d'ancêtres A que nous avons, pour une génération N, par exemple :

A(1) = 2 (parents)
A(2) = 4 (grands parents)
A(3) = 8 (arrière grands parents)
...
A(N) = 2^N

Pour calculer A(N), il nous faut multiplier le résultat précédent A(N-1) par deux. En prenant comme opération unitaire la multiplication, on a donc un calcul à temps exponentiel, c'est à dire du type :

T(calcul exponentiel) = K^N

Où K est un nombre fixé (2 dans le cas du calcul des ancêtres) et N le nombre de données (dans notre exemple, le nombre de générations)

Un point fréquent dans les calculs à temps exponentiels est qu'ils sont récursifs : pour calculer A(N), on doit calculer A(N-1). Le résultat final n'est possible qu'en faisant tous les calculs

Mon point de vue : On peut se représenter le calcul à temps polynomial ou exponentiel comme une série de calculs à effectuer dans l'ordre : les calculs sont "branchés" en série, un peu comme des composants d'un circuit électrique. Tous les "circuits sont nécéssaires pour alimenter" le résultat. Les problèmes P ou E (voir plus bas) sont des "calculs en ET".

Nous pouvons maintenant définir l'ensemble E, comme étant l'ensemble des calculs à temps exponentiel. Mais quel rapport avec P = NP ? En quoi cela peut-il nous aider à définir l'ensemble NP ?

Calculs non déterministes à temps polynomial

Que signifie un calcul "non déterministe" ? En gros, que l'algorithme doit effectuer un certain nombre de calculs indépendants les uns des autres et qu'en fonction du "choix" qu'il fera, il pourra mettre moins de temps que nécéssaire, s'il avait dû tous les calculer, ou s'il les avait calculé dans un "ordre déterministe".

Pour cette raison, on dit souvent que les problèmes de la classe NP sont des problèmes de "décision".

On observe plusieurs propriétés importantes des problèmes de la classe NP :
- On peut calculer un problème NP avec un algorithme à temps exponentiel
- On peut vérifier le calcul d'un problème NP avec un algorithme à temps polynomial

On voit qu'en terme d'efficacité, les problèmes NP semblent se situer "entre" les problèmes P et E.

Autre point important : un problème P fait également partie de la classe NP. En termes ensembliste, on dira que l'ensemble P est inclus dans l'ensemble NP.

En mathématique, pour que deux ensembles (P et NP) soient égaux, il faut (et il suffit) qu'ils soient inclus l'un dans l'autre. Nous savons déjà que P est inclus dans NP. Toute la question de l'hypothèse P = NP est en fait de savoir si la réciproque est vraie : En fait la question n'est pas "P est-il égal à NP ?", mais plus précisément "NP est-il inclus dans P ?", autrement dit :

Pour chaque problème NP, existe-il un algorithme déterministe à temps polynomial capable de le résoudre ?

Généralement, les problèmes mathématiques commençant par "Pour chaque...existe t'il..." sont les plus difficiles à résoudre , car il faut démontrer l'existence d'un tel algorithme pour chaque problème, mais comment peut-on étudier en même temps TOUS les problèmes de type NP ? (Une blague de mathématicien serait de dire qu'on se trouve en face d'un problème à temps exponentiel...)

En fait, dans les années 60, un mathématicien américain du nom de Stephen Cook a découvert qu'on pouvait étudier tous les problèmes d'une classe, en étudiant uniquement "les plus difficiles" de cette classe : En résumé, "qui peut le plus, peut le moins". On appelle ces problèmes des problèmes complets.

Un problème NP-Complet : le problème du voyageur

Imaginons qu'un touriste veuille visiter N villes. Il souhaite effectuer le trajet le plus court possible, ou plus précisément, plus court qu'une certaine distance autorisée, qu'on appelera D, tout en passant par toutes les villes.

Pour résoudre ce calcul il faudrait à priori calculer toutes les combinaisons possibles de trajets, soit (N-1)! et sélectionner uniquement celles inférieures à D, par exemple :

Pour deux villes (N=2), il y a 1 seul trajet possible (T=1), donc une seule distance à calculer.

N = 3, T = 2
N = 4, T = 6
N = 5, T = 24
...
N = k, T = (k-1)! = (k-1) * (k-2) * ... * 1

On retrouve un peu le même schéma que pour le calcul des ancêtres (à temps exponentiel) : une série de multiplications, on peut donc à priori classer cet algorithme dans l'ensemble E.

Cependant, on peut vérifier si notre solution est correcte en beaucoup moins de temps : en faisant la somme des distances des trajets parcourus, on obtient une distance qui doit nécéssairement être inférieure à D. L'algorithme de vérification appartient à la classe P, car le temps de calcul est proportionnel au nombre de villes.

Ces deux éléments (calcul dans E et vérification dans P) suffisent à classer notre problème dans la catégorie NP.

En plus de cela (la démonstration m'est inconnue) ce problème est un problème "NP difficile", un problème NP-Complet. On peut reformuler la conjecture P = NP comme cela :

Si on parvient à trouver un algorithme déterministe à temps polynomial pour résoudre le problème du voyageur, alors on pourra le faire pour n'importe quel problème NP. La classe NP sera alors réduite à la classe P.

Le problème, c'est que personne n'a encore trouvé d'algorithme déterministe à temps polynomial pour aucun problème NP-Complet, donc pour l'instant, force est de constater que P n'est pas égal à NP !

Mon point de vue : P n'est pas égal à NP

Comme je l'ai dit dans la première partie de cet article, je ne suis pas un spécialiste, pourtant, en lisant divers articles sur le problème P = NP, dont l'excellent livre "les énigmes mathématiques du 3ème millénaire", je me suis mis à rêver d'une légitimité pour donner ma conception de ce problème... Voici mon idée, peut-être naïve ou stupide, mais c'est une idée...

Les problèmes NP consistent à effectuer plusieurs calculs, qui sont à priori pas tous nécéssaires, pour les résoudre : Dans le problème du voyageur, "si on a de la chance", on peut tomber sur le plus court trajet du premier coup, pas besoin de tous les calculer.

On peut se représenter les problèmes NP comme des calculs "en parallèle" (comme dans un circuit électrique), nous n'avons pas besoin "d'alimenter tous les circuits" pour arriver au résultat. Les problème NP sont des "calculs en OU".

J'ai dit plus haut que les problèmes P ou E sont des "calculs en ET". D'où la nécéssité d'effectuer TOUS les calculs pour arriver au résultat.

Les mathématiciens, car il existe de nombreuses méthodes (appelées heuristiques) pour trouver les meilleurs chemins, ont conjecturé qu'un problème NP ("calcul en OU") n'est pas aussi complexe qu'un problème E ("calcul en ET"). ET que donc, on pouvait réduire les problèmes NP à des problèmes P ("calculs en ET") beaucoup plus simples que le problème E ("calcul en ET") équivalent.

Mon idée est que pour un algorithme donné, il existe un seul "calcul en ET" et que celui-ci est nécéssairement le problème E d'origine. Je dirais donc que NP n'est pas inclus dans P mais qu'au contraire, NP est inclus dans E.

Je pense que le meilleur moyen de résoudre un problème NP est donc d'utiliser ces heuristiques ou des algorithmes non déterministes comme par exemple les algorithmes génétiques.

Car il est vrai qu'un problème NP se distingue d'un problème E, par la possibilité de "sauter" des étapes du calcul, mais je suis convaincu qu'il n'existe pas de "formule magique" pour effectuer ce choix, on peut simplement éviter de faire de "mauvais choix" (heuristiques), ou expérimenter des échantillons prometteurs de choix (algo génétique).

J'ai bien conscience qu'il s'agit d'un avis tranché, sans aucun vrai argument scientifique ou mathématique. J'essayerai d'étayer cette idée plus tard avec, si je peux, des arguments plus rigoureux ou à défaut, par d'autres images peut-être plus convaincantes.

Une dernière précision sur P = NP : on peut se poser la question de savoir si cette conjecture est démontrable (ou réfutable). Autrement dit, il y a trois réponses possibles à la question P = NP ?

1- Vrai
2- Faux
3- Indémontrable

J'ai dis que je pensais que la réponse était Faux, mais je dois avouer que la troisième solution est tentante : Cela pourrait signifier soit une limite dans les outils mathématiques à notre portée (3A), soit que la question n'a pas de sens dans l'absolu (3B).

En résumé, je pencherais pour la solution 2 ou - dans une moindre mesure - la solution 3B.

Et vous, qu'en pensez-vous ? Quelle solution vous semble la plus plausible ?

PS : Si j'ai commis des erreurs dans cet article, je vous prie de m'en excuser, je n'aime pas trop me documenter pour écrire, mon but n'était pas de faire une "leçon" sur la théorie de la complexité. N'hésitez pas à apporter des corrections si nécéssaire.

P = NP : problème ou illusion ? (partie 2)

Dans la première partie nous avons calculé la complexité de l'addition scolaire, dans le cas d'une addition à N chiffres, on a vu que l'addition scolaire était un calcul à temps linéaire, c'est à dire que le temps de calcul est proportionnel à N.

Calculons maintenant la complexité de la multiplication scolaire à N chiffres. Pour cela, nous allons prendre comme unité de temps, l'opération AxB, où A et B sont des nombres à un seul chiffre, donc :

T(AxB) = 1

Si on note A(N) et B(N) des nombres à N chiffres, calculer T(A(N)xB(N)) revient à calculer combien de multiplications "unitaires" (chiffre à chiffre) il faut réaliser pour calculer A(N)xB(N) avec la méthode scolaire.

Pour N = 2, par exemple, avec A(2) = 12 et B(2) = 34

12 * 34 = 2*4 + 10*(4*1) + 10*( 3*2 + 10*(3*1) )

Comme nous sommes en base 10, l'opération X + 10*Y revient à accoler les chiffres X et Y, en écrivant le nombre "YX", cette opération ne sera pas comptabilisé dans le calcul de la ocmplexité, on a donc :

T(A(2)xB(2)) = 4

De manière générale, pour multiplier deux nombres à N chiffres, il faudra multiplier deux à deux chaque chiffre de l'un avec ceux de l'autre, on obtient donc :

T(A(N)xB(N)) = N²

On en déduit que la multiplication scolaire est un calcul à temps quadratique : Le temps de calcul nécéssaire dépend du carré du nombre de chiffres.

De la même manière, on peut calculer le temps de calcul de n'importe quelle opération ou algorithme.

Les calculs comme l'addition ou la multiplication sont dits à temps "polynomial", car le temps dépend d'une fonction polynomiale de N (le nombre de données), c'est à dire :

T(calcul polynomial) = somme (a(k)*N^k) pour k entier

On peut donc classer l'addition et la multiplication (et un grand nombre d'autres calculs) dans l'ensemble des calculs à temps polynomiaux, on appelle cet ensemble P. (le fameux P de P = NP)

Plus précisément, l'ensemble P est appellé "Ensemble des calculs déterministes à temps polynomial", c'est à dire l'ensemble des calculs qui ne font pas appel à des fonctions aléatoires (comme l'addition ou la multiplication)

On devine donc que l'ensemble NP est tout simplement "L'Ensemble des calculs non déterministes à temps polynomial" (et non comme on le croit parfois, "L'ensemble des calculs à temps non polynomial)

Voilà pour la base... Dans la prochaine partie, nous verrons un troisième ensemble et je tenterai de donner une explication concrète du problème P = NP.

A suivre...

Comment faire rire un ordinateur ?

QUand je n'ai rien à faire, j'aime me ballader sur le site de l'université de Cornell www.arxiv.org qui publie une nombre incroyable d'articles scientifiques dans tous les domaines.

L'autre jour, je suis tombé sur un vieil article (1994) écrit par un chercheur russe I.M. Suslov,, l'article était intitulé "Can a computer laugh ?" suivi d'une deuxième article "How to realize a sense of humour in computers ?"

J'ai d'abord pensé à un gros canular, mais après avoir lu quelques paragraphes, je me suis très vite rendu compte du sérieux de cet article et surtout de sa pertinence : il semble bien que l'humour ait une explication tout à fait rationnelle, l'humour serait de plus indispensable au développement de l'intelligence, y compris chez les ordinateurs !

Pour ceux qui sont intéressés, voici le lien vers ces différents articles : http://arxiv.org/find/all/1/all:+humour/0/1/0/all/0/1

Pour les plus fainéants - ou les moins anglophiles - je vais tenter de résumer l'idée de départ de Monsieur Suslov. (J'avoue que je n'ai pas eu le courage de lire l'article en entier, car la suite devient plus technique...)

Soit une phrase, composée de n mots que l'on notera A(1),A(2),...,A(n).

Chaque mot est associé à un tableau de m images (ou sens) que l'on notera B(n,1), ...,B(n,m).

On dira que le mot n de la phrase possède m(n) sens possibles, B(i,j) représente le j-ème sens du i-ème mot.

Comprendre une phrase "correctement" reviens à trouver la bonne "trajectoire", c'est à dire la suite k(n) telle que la suite B(n,k(n)) représente la suite d'images qui a le "plus de sens".

Lorsque nous essayons de comprendre une phrase, notre inconscient analyse différentes trajectoires possibles et détermine la trajectoire qui semble avoir le plus de sens.

Pour cela, notre cerveau procède par étape, Suslov nous suggère l'algorithme suivant :

1. Notre conscience lit le premier mot A(1)
2. Notre inconscient fait la liste des images B(1)
3. Notre conscience lit le mot suivant A(i)
4. Notre inconscient fait la liste des B(i) images de ce mot
5. Notre inconscient met en mémoire les combinaisons d'images entre B(i-1) et B(i) les plus probables (en réalité ce choix est fait en observant toutes les combinaisons précédentes)
   
6. La combinaison la plus probable est renvoyée à notre conscience
7. Retour à l'étape 3
   

L'étape cruciale dans ce processus est l'étape 5. C'est elle qui va permettre de choisir quel sens donner à tel ou tel mot.

Suslov interprète l'humour comme le dysfonctionnement qui arrive, lorsque l'esprit arrive dans une impasse au niveau du choix des images (le sens de la phrase nous apparaît alors comme absurde)

Plus précisément, on peut avoir sélectionné au i-ème mot l'image qui nous a semble la plus "sensée" et se rendre compte au i+1-ème mot qu'on ne peut pas choisir une image sensée en rapport avec les images précédemment choisies.

Dans ce cas, le rire permettrait de remettre à zéro le processus de compréhension et permettrait à l'esprit de revenir en arrière pour choisir une autre image du ou des mots précédents.

Je pense qu'il s'agit là d'une très bonne interprétation du rire. Cette approche a en plus le mérite de fournir un modèle simple de compréhension du langage.

Pour terminer, voici une petite blague pour illustrer ce principe :

Au restaurant, le garçon demande au client:
- Comment avez-vous trouvé le beefsteak?
- Tout à fait par hasard, en soulevant une frite!

Je vous laisse le soin d'analyser cette blague pour y déceler le mécanisme suggéré par Suslov.

Une dernière chose : j'ai écrit cet article car j'ai été très intéressé par l'idée de Monsieur Suslov, j'ai tenté ici de résumer une partie de son article telle que je l'ai compris, mais le raisonnement de ce chercheur est bien sûr plus profond et plus détaillé. Il identifie par exemple plusieurs types d'humours. J'ai décrit ici uniquement l'humour basé sur un double sens mais il y a bien d'autres variantes qui permettent de couvrir l'ensemble du "sens de l'humour".

Il semble également que Suslov étende son raisonnement à d'autres sentiments humains, mais je n'ai pas trouvé d'articles sur le sujet.

En attendant, riez bien, c'est important pour la santé !

Peter Woit : Même pas pédagogue...

Je viens d'achever (enfin!) la lecture du livre "Même pas fausse" écrit par Peter Woit, un professeur de mathématique de l'université de Columbia.

Le livre, à priori fait par un vulgarisateur, dans le but de vulgariser la théorie des cordes et ses limites m'a malheureusement déçu. Voici en quelques lignes les points forts du livre, et les points qui m'ont déçu.

Autant l'avouer tout de suite, je n'ai pas du tout aimé ce livre. Je dirais même que j'ai haï certains passages, à commencer par le début où l'auteur se gargarise de sa propre compétence et de sas grandes capacités, il m'a semblé d'entrée de jeu que Monsieur Woit ne connaissait pas la modestie.

Le livre est très peu accessible aux non-initiés, notament à la théorie des groupes. De nombreuses notions sont jetées sur le tapis sans aucune explication : boson de Higgs, supersymétrie, doublets ou triplets, groupe E8...

Je me suis même demandé à un moment si ce professeur enseignait vraiment à ses élèves et si ce livre s'adressait aux non initiés, où s'il s'agissait d'une discussion entre experts...

Bref, j'ai vraiment souffert en lisant ce livre, et je pense qu'il me faudra sûrement un relecture pour l'apprécier à sa juste valeur et comprendre tous les arguments techniques qui y sont avancés.

Un autre point qui m'a profondément agacé et le rejet sans appel du travail de Igor et Grishka Bogdanov, qui sont lapidairement évoqués dans un chapître de 3 pages, présentés comme "un canular à la Sokal" (d'après le nom du physicien qui avait sousmis un article volontairement fantaisiste à la publication dans un grand journal scientifique).

Pire, l'université de Bourgogne, qui a délivré la thèse des jumeaux est taxée de laxiste, ses professeurs "d'incompétents" ! J'ai reconnu là tous les reproches caractéristiques du complexe de supériorité malheureusement si fréquent chez les américains...

Encore pire, malgré la rapidité du chapître, il arrive à livrer un nombre incommensurable d'âneries , comme par exemple : "Aucun spécialiste ne s'est risqué à soutenir les travaux des Bogdanov". Ceci est tout simplement faux. Leur directeur de thèse Moshé Flato, décédé peu avant leur thèse les à bien sûr encouragé, mais surtout leur dernier directeur de thèse, le Dr Sternheimer, directeur de recherche au CNRS, vous trouverez un article édifiant à cette adresse : http://users.skynet.be/catherinev/sternheimer.htm

Un autre aspect négatif du livre est qu'il passe presque 2/3 des pages à raconter - voire à encenser - le modèle standard des particules. Il faudra attendre autour de la page 200 pour entendre enfin parler de la théorie des cordes...

Pour terminer sur une note plus positive, voici les points positifs que j'ai trouvé à ce livre :
- Un bel historique de l'évolution de la physique du début du siècle à nos jours.
- Une longue explication du modèle standard, plus complète que dans d'autres livres
- De belles anecdotes sur les plus grands physiciens (notament Edward Witten)
- Des arguments précis contre la théorie des cordes (on va au delà du simple "elle ne fait aucune prédiction")

Je lis en ce moment "Rien ne va plus en physique", écrit par Lee Smolin, qui traite du même sujet (l'échec de la théorie des cordes). Je n'en suis qu'au début, mais il est clair que ce livre est de bien meilleure qualité. Toutes les explications sont claires, expliqués simplement et accessibles au premier venu : il identifie par exemple, dès le premier chapître, les "5 grands problèmes fondamentaux de la physique".

Je ferai prochainement un petit post sur ce livre qui m'a l'air bien plus instructif et surtout à ma portée, que le précédent. Cependant, je pense que je relirai tout de même "Même pas fausse", après celui-ci, histoire de voir si je comprends mieux les arguments de Monsieur Woit.

Pour terminer, quand Peter Woit critique les Bogdanov pour leur manque de clarté et de pédagogie, je pense qu'il ferai mieux de relire ce qu'il écrit et de penser à ceux qui ne sont pas dans sa tête. J'ai lu "Avant le Big Bang", et le livre et d'une clarté incomparable par rapport à "Même pas fausse". Il est possible que monsieur Woit ne sache pas expliquer la "vérité" clairement, mais il est certainement impossible que les Bogdanov puisse expliquer clairement quelque chose "qui n'a aucun sens" (citation de Monsieur Woit).

Sur ce, bon réveillon à tous et à très bientôt !

P = NP : problème ou illusion ?

D'après le livre "Les énigmes mathématiques du 3ème millénaire" (Keith Devlin), le problème P = NP serait, parmi les sept, le problème le plus accessible au commun des mortels, voire, pourquoi pas, le seul problème qu'un non spécialiste pourrait éventuellement résoudre.

Etant moi-même un éminent non-spécialiste, voici ma conception de ce problème et, si on peut dire, la réponse que je pense pouvoir y apporter. Mais avant, je vais tenter de planter le décor, que signifie P = NP ?

Théorie de la complexité

La théorie de la complexité est une méthode qui permet, quel que soit le problème que l'on ait à résoudre, de calculer le temps qu'il faudra pour trouver la ou les réponses.

Plus précisément, on ne calcule pas le temps (en secondes), car cela dépend bien-sûr de la vitesse du calculateur (ordinateur ou humain), mais plutôt le nombre d'opérations simples nécéssaires pour effectuer un calcul.

Qu'est-ce qu'une opération "simple" : en fait, cela n'a pas d'importance, on pourrait prendre n'importe quelle opération comme étant "l'unité". Prenons par exemple une des opérations les plus simples qui existe : l'addition entre deux chiffres décimaux. (nombres compris entre 0 et 9)

Soient A et B deux chiffres compris entre 0 et 9, le calcul de A+B, sans retenue, nécéssite une seule opération, donc le temps T de ce problème est de 1 : T(A+B) = 1

Si l'on souhaite maintenant calculer la somme avec la retenue, il nous faut une opération supplémentaire : T(A+B+R) = 2

Combien de temps faut-il pour calculer la somme de deux nombres décimaux composés chacuns de N chiffres ?

Soient A et B deux nombres décimaux, on note A(n) le n-ième chiffre de A et B(n) celui de B (on prendra n entre 1 et n pour simplifier les formules).

Additionner A et B revient à additionner leurs chiffres respectifs, en ajoutant la retenue précédente, on notera R(n), la retenue de l'opération A(n)+B(n)+R(n-1)

A+B = (A(1)+B(1))*10^0 + (R(1)+A(2)+B(2))*10^1 + ... + (R(n-1)+A(n)+B(n))*10^(n-1) + R(n)*10^n

Autrement dit :

A+B = Somme ((A(k+1)+B(k+1)+R(k))*10^k), pour k allant de 0 à n, avec R(0)=A(n+1)=B(n+1)=0

Comme nous sommes en base 10, l'opération 10^k revient simplement à écrire les chiffres à différents emplacements (unités, dizaines, centaines...), cette partie n'entre donc pas dans le calcul de compexité de A+B.

Pour calculer T(An+Bn), il suffit de compter le nombre d'additions entre deux chiffres, dans la formule ci-dessus : chaque étape comporte 2 additions et il y a (n+1) étapes. La première et la dernière étape, ne comptent qu'une opération, on pourra donc enlever 2 au résultat final, en résumé :

T(An+Bn) = 2*(n+1) - 2 = 2*n

Cette formule signifie que le temps de calcul de l'addition de deux nombres composés de n chiffres est proportionnel à 2 fois le nombre de chiffres.

On dira que l'addition est un calcul à temps (ou à complexité) linéaire : le temps nécéssaire au calcul est proportionnel à la quantité de données en entrée, à un facteur k près. Pour l'addition de deux nombres, nous avons k = 2.

Cet indice k, représente tout simplement le nombre d'opérations nécéssaires à ajouter, à chaque fois que l'on rajoutera une donnée en entrée dans notre calcul (ici, un chiffre de plus à A et B).

Nous allons maintenant calculer la complexité de la multiplication entre deux nombres A et B composés chacuns de n chiffres décimaux : T(An*Bn)

Calculons d'abord la complexité de l'opération T(A*B), soit le cas n = 1 :

A * B = A + A + ... + A

Nous avons ici (B-1) additions, on aurait tout aussi bien pu dire (A-1). D'où :

T(A*B) = k * T(A+B), où k est une valeur qui dépend des données A et B.

A suivre ...

Tout est dans le NON !

Aujourd'hui, j'ai décidé de vous présenter le pouvoir du NON. Pour être plus précis, je vais tenter d'expliquer comment créer l'algèbre de Boole, à partir du chiffre 0 et du seul opérateur logique NON.

Cette propriété connue est utilisée chaque jour pour créer les circuits logiques des puces de nos ordinateurs. Mais au delà de çà, ce principe me fascine car il permet de penser que "tout existe à partir du zéro et du NON".

Définissons tout d'abord quelques notions.

Opérateur : loi de transformation d'un ou plusieurs éléments d'un ensemble, vers un ou plusieurs éléments d'un autre ensemble (éventuellement le même).

Soit O un opérateur quelconque, on écrira :

O : E^a -> F^b

Ce qui signifie que l'opérateur O prend en entrée a éléments de l'ensemble E et génère en sortie b éléments de l'ensemble F.

Construire l'algèbre de Boole revient à exprimer tous les opérateurs logiques unaires et binaires, à partir de l'opérateur NON.

A partir de la définition d'un opérateur, on se place dans le cas suivant :

E = F = {0, 1}
b = 1
a = 1 (pour les opérateurs unaires)
a = 2 (pour les opérateurs binaires)

Autrement dit : les opérateurs logiques
unaires sont les transformations d'un élément 0 ou 1 en un autre élément valant 0 ou 1. Les opérateurs logiques binaires sont les transformations d'un couple d'éléments (0,0) , (0,1) , (1,0) ou (1,1) en un seul élément valant 0 ou 1.

Tables de vérité

La table de vérité d'un opérateur est le tableau qui donne pour chaque élément en entrée, l'élément correspondant en sortie. Voici quelques exemples :

Table de vérité de l'opérateur unaire identité :

0	0
1	1

Table de vérité de l'opérateur unaire négation :

0	1
1	0

Pour les opérateurs binaires, on peut représenter la table de vérité sous la forme d'un tableau à deux dimensions :

Table de vérité de l'opérateur binaire OU :

	0	1
0	0	1
1	1	1

Table de vérité de l'opérateur binaire ET :

	0	1
0	0	0
1	0	1

Les nombres en gras représentent les éléments en entrée, les autres les éléments en sortie. Pour connaître le résultat, il suffit de choisir une ligne et une colonne et de lire le résultat. Par exemple : 1 ET 1 = 1

Ici l'ordre des éléments en entrée n'a pas d'importance, mais lorsque ce sera le cas, on lira en premier la ligne, puis la colonne.

Codage des opérateurs logiques

Comment connaître tous les opérateurs logiques ? Pour cela, nous allons utiliser une méthode de codage qui va nous permettre de les compter et de n'en oublier aucun. Pour coder un opérateur, nous allons d'abord réécrire sa table de vérité de manière "compacte".

Par exemple, pour les opérateurs unaires, on constate que la première colonne est inutile : le 0 et le 1 seront toujours à la même place. On va donc accoler les chiffres restants, c'est à dire :

Codage de l'opérateur unaire identité : 10
Codage de l'opérateur unaire négation : 01

Vous constaterez qu'on a inversé les nombres, afin que le résultat de l'élément 0 soit situé à droite et celui de l'élément 1 à gauche. Ce choix est plus logique, car on lit les nombres de droite à gauche.

On peut en déduire qu'il existe seulement 4 opérateurs logiques unaires :

• 00 : L'opérateur zéro
• 01 : L'opérateur négation
  
• 10 : L'opérateur identité
• 11 : l'opérateur un

On remarque que le premier opérateur est la négation du dernier (1 n'est pas nécéssaire car c'est la négation du 0).

De même, le deuxième opérateur (le fameux NON) est la négation du troisième (l'identité).

Donc seul la moitié de ces opérateurs semble utile (0 et NON) puisque les deux autres peuvent s'obtenir en rajoutant l'opérateur NON.

Nous pouvons donc exprimer tous les opérateurs unaires en utilisant le 0 et le NON (que nous noterons "!") :

On note A l'élément de départ, appliqué à chaque opérateur unaire (souvenez-vous que A peut prendre la valeur 0 ou 1) :

• 00(A) = 0
• 01(A) = !A
• 10(A) = A
• 11(A) = !0 (non, je n'utiliserai pas le 1 !)
  

Codage des opérateurs logiques binaires :

Nous allons maintenant appliquer cette méthode pour d'abord coder, puis pour exprimer tous les opérateurs logiques binaires en fonction de l'opérateur NON.

En reprenant les tables de vérité, on va supprimer les éléments en entrée, comme on l'a fait pour les opérateurs unaires, puis on va accoler les 4 éléments en sortie. De maniuère générale, la table suivante :

	0	1
0	A	B
1	C	D

Deviendra le code : DCBA

Par exemple, les codes des opérateurs OU et ET sont respectivement 1110 et 1000.

A nouveau, on voit qu'il ne peut y avoir que 16 opérateurs logiques binaires distincts (il y a quatres chiffres binaires, soit 2^4 = 16 possibilités).

Comme nous l'avons fait pour les opérateurs unaires, il nous suffira de calculer les 8 premiers opérateurs, les 8 suivants étant symétriques (à l'opérateur NON près)

Avant de pouvoir coder les opérateurs, il nous faut cependant étendre le domaine de validité de l'opérateur logique unaire NON aux opérateurs logiques binaires, en mathématiques, on noterait :

NON : E -> F
NON(A) = !A

NON ET : E^2 -> F
NON ET(A,B) = A!B = NON(A) ET NON(B)

Je dois reconnaître ici que j'ai un peu triché en annonçant que l'on n'aurait besoin que du NON et du 0. En effet, pour étendre l'opérateur NON aux opérateurs binaires, nous devons le combiner avec un opérateur binaire quelconque , ici on a choisi ET.

Mais ce qui est important, c'est que l'on aurait pu prendre n'importe quel opérateur non trivial (comme 0 ou 1) : l'opérateur ET est donc uniquement là pour faire la figuration, bien qu'il nous permette d'accéder au monde merveilleux des opérateurs binaires.

Donc muni de notre opérateur étendu "!" (à la fois unaire et binaire), tentons d'exprimer les opérateurs binaires logiques en utilisant toujours uniquement les symboles 0 et "!" avec un peu de calcul, on obtient :

• 0000(A,B) = 0
• 0001(A,B) = !(!A!!B)
• 0010(A,B) = !(!A!B)
• 0011(A,B) = !A
• 0100(A,B) = !(A!!B)
  
• 0101(A,B) = !B
  
• 0110(A,B) = (!A!B)!(A!!B)
  
• 0111(A,B) = A!B
  
• 1000(A,B) = !(A!B)
  
• 1001(A,B) = (A!B)!(!A!!B)
• 1010(A,B) = B
  
• 1011(A,B) = A!!B
  
• 1100(A,B) = A
  
• 1101(A,B) = !A!B
  
• 1110(A,B) = !A!!B
  
• 1111(A,B) = !0 (on n'a toujours pas besoin du 1...)
  

En exprimant tous les opérateurs logiques à l'aide de 0 et "!", nous pouvons maintenant réaliser n'importe quel calcul dans l'algèbre de Boole. Il suffit d'assembler les différents opérateurs dont on a besoin, d'obtenir la formule écrite avec les symboles "!", "0" et bien sûr les éléments en entrée (par exemple A et B).

Remarque : Pour exprimer une opération quelconque en fonction de A, B 0 et "!", il suffit de la décomposer en des opérateurs dont on connait le code, d'effectuer l'opération sur le code des opérateurs, puis de lire l'expression correspndante dans le tableau ci-dessus, par exemple :
A correspond à l'opérateur 1100, B, à l'opérateur 1010, donc l'expression A OU B correspond à l'opérateur (1100 OU 1010) = 1110, soit l'expression !A!!B

On peut ensuite réaliser le circuit de portes logiques en utilisant uniquement la porte NON ET : c'est la dernière étape dans la conception d'un circuit électronique.

Ci dessous, un circuit logique simple qui réalise l'opération OU (opérateur 1110 dans notre liste), avec les entrées E1 et E2, la sortie S et trois portes logiques NON ET. Les entrées sont d'abord reliées chacune à une porte NON, puis les sorties respectives sont reliées entre elles à une même porte NON ET, qui donne le résultat final S.



En lisant ce schéma, on peut tout à fait vérifier la formule 1110(E1,E2) = !E1!!E2 ou si vous préférez 1110(E1,E2) = (!E1)!(!E2).

Cliquez-ici pour voir les circuits d'autres opérateurs logiques, réalisés avec la porte NON ET (également appelé NAND).

Enfin, on peut bien sûr étendre cette méthode pour manipuler autant d'entrées qu'on le souhaite et ainsi réaliser des circuits plus élaborés (sommateurs, compteurs, multiplexeurs...) comme on en trouve au coeur des puces électroniques...

Voilà, cet article est terminé. J'espère que cela vous aura intéressé. J'aimerais avoir votre avis ou vos réflexions sur ce sujet ou sur l'algèbre de Boole en général... Que pensez-vous également de cette méthode de codage (on pourrait presque parler de classification) des opérateurs logiques ? Que changeriez-vous dans le codage pour obtenir une classification des opérateurs plus élégante ?

Pour terminer sur une note plus spirituelle, je pense sincèrement que derrière l'opérateur NON se profile toute la puissance génératrice du zéro. Une sorte de preuve que tout ce qui existe peut-être généré à partir de ce qui n'existe pas (à partir de rien en fait)... mais il s'agit bien sûr d'un sentiment personnel.

Pour plus d'informations sur l'opérateur NON et sur l'histoire du zéro, je vous recommande le livre "A propos de rien, une histoire du zéro" (Robert Kaplan).

A très bientôt.

De l'ordre des nombres ...

Une des activités des mathématiques qui me fascine le plus est l'étude des nombres premiers. Il m'arrive parfois de prendre un carnet, de calculer les nombres premiers dans l'ordre, puis de tracer toutes sortes de représentations graphiques, ou suite logique basée sur les nombres premiers (par exemple une suite composé d'un "0" pour chaque nombre non premier et un "1" pour chaque nombre premier) en espérant pouvoir y déceler une sorte de structure secrète des nombres, voire de l'univers, d'être le MAITRE DU MONDE !!! ... Mais un peu de sérieux.

Malheureusement, comme la plupart de mes tentatives naïves pour trouver une réponse là où les plus grands spécialistes n'ont pas encore trouvé grand chose, cela échoue systématiquement.

Mais avant de vous raconter ma dernière tentative, je tiens d'abord à vous donner deux formules, qui sont parmi les plus belles dans l'étude des nombres premiers.

Le Théorème des Nombres Premiers (TNP)

Il s'agit d'une formule qui permet d'estimer le nombre de nombres premiers (non, ce n'est pas une répétition) inférieurs à un certain nombre. La voici :

PI(n) ~ Li(n)

Ce qui signifie "le nombre de nombres premiers inférieurs à n est environ égal au logarithme intégral de n".

Cette formule permet d'estimer, avec une précision de plus en plus fine au fur et à mesure que n est grand, le nombre de nombres premiers inférieurs à n.

Il est vrai que ce théorème ne donne pas une estimation exacte. Pour obtenir LA formule exacte il faudrait résoudre la "conjecture de Rieman". Je ne vais pas entrer dans les détails (je vous conseille plutôt le livre "Dans la jungle des nombres premiers" de John Derbyshire), mais en résumé : en résolvant cette conjecture, on pourrait (peut-être) découvrir le petit quelque chose qu'il manque pour que le "environ égal" se transforme en "égal" (le "terme correctif", pour les puristes...)

Pour conclure sur ce théorème et sur cette conjecture, l'intérêt de connaître exactement le nombre de nombres premiers inférieurs à n, permettrait de déterminer de manière très simple si un nombre est premier ou pas.

Imaginons qu'on sache calculer PI(n) (le nombre de nombres premiers inférieurs à n), alors pour savoir si n est premier, il suffit de calculer PI(n+1) - PI(n) : si le résultat est un, alors bingo ! n est premier.

La formule d'Euler

zêta(s) = produit(1/(1-p^-s))

Cette formule se lit "zêta de s est égal au produit de un divisé par un moins p à la puissance moins s, pour p parcourant l'ensemble des nombres premiers". Mais avant d'en donner une lecture plus compréhensible, je dois rappeler la définition de la fonction zêta de Rieman (tiens, ce nom m'est familier ?...)

En réalité la fonction zêta de Rieman n'a pas été inventée par Rieman, mais par Euler. Voici cette définition :

zêta(s) = somme(1/n^s)

En français : La fonction zêta est la "somme de 1 sur n à la puissance s, lorsque n parcoure l'ensemble des nombres entiers". Enfin, l'argument de la fonction, "s", est un nombre complexe quelconque différent de 1 (sinon la somme tend vers l'infini et la fonction est indéfinie).

Donc, la puissance de cette formule d'Euler, est de mettre en relation l'ensemble des nombres entiers naturel avec l'ensemble des nombres premiers (le fameux motif que je recherchais aussi naïvement avec mon carnet). Elle est donc à priori la meilleure candidate pour connaître répartition des nombres premiers et pour compléter le TNP.

En réalité, cela s'avère très difficile et on peut dire que l'hypothèse de Rieman consiste en gros, à partir de la formule d'Euler, à compléter le TNP (ou du moins à faire une partie du boulot).

Pour conclure cette première partie, je ne peux pas m'empêcher de citer l'hypothèse de Rieman, qui même si elle n'est qu'une hypothèse, est bien entendu une formule très belle :

Pour tout s!=-2n, zêta(s) = 0 => s = 1/2 + ik

Expliquer cette formule en détail serait trop long, je donnerais simplement cette même hypothèse de Rieman en Français :

"Tout les zéro non triviaux de la fonction zêta se trouvent sur la droite critique du plan complexe y = 1/2"

J'ai bien conscience que présenter tous ces outils sans donner plus d'explication rend la compréhension bien difficile, c'est pourquoi je vous invite à consulter wikipédia ou même à livre ce livre ("Dans la jungle des nombres premiers") pour une avoir une meilleure approche du sujet.

J'ai cependant tenu à présenter d'abord brièvement l'approche "standard" des nombres premiers, qui est certes très prometteuse et très rigoureuse, mais assez peu accessible pour les non spécialistes (comme moi) : la résolution de l'hypothèse de Rieman est d'aileurs l'un des problèmes du millénaire, irrésolu depuis près de deux cent ans ! AI-je une chance avec mon carnet ? ... Après tout j'ai rien d'autre à faire pour l'instant...

Mon approche naïve : Les nombres premiers...oui mais dans quel ordre ?

Cet été, lorsque je m'aventurai "Dans la jungle des nombres premiers", il m'est venu une question un peu stupide :

Plutôt que de s'intéresser uniquement aux nombres premiers, pourquoi ne s'intéresse t'on pas à tous les nombres : les nombres "seconds", les nombres "troisièmes", etc. ?

J'ai donc défini (bien que j'imagine que cette fonction existe déjà quelque part...), ce que j'ai appelé la "fonction d'ordre", que j'appelerai originalement "o".

o(n) est une fonction qui pour un nombre entier donné, nous retourne le nombre de diviseurs premiers qui composent ce nombre. Autrement dit :

o(p) = 1 <=> p est premier

Exemples :
o(2)=1
o(3)=1
o(4)=2 (2 et 2)
o(5)=1
o(6)=2 (2 et 3)
o(7) = 1
o(8) = 3 (2, 2 et encore 2)
...
o(n) = k <=> n à k diviseurs premiers

Est-il possible, en étudiant cette fonction un peu bizarre, non seulement d'étudier la répartition des nombres premiers, mais aussi la répartition de tous les nombres d'ordre 2, 3 ? Peut-être cette fonction a-t'elle une schéma plus simple et cohérent que le schéma chaotique (ou du moins Riemaniesque) de la fonction PI(n) ?

Etant donné qu'il est déjà deux heures du mat' passées et que je dois bosser demain, je me contenterai pour l'instant de donner deux éléments qui pourraient être intéressants sur la fonction d'ordre :

Cette fonction possède les mêmes propriétés qu'une fonction logarithmique, c'est à dire :

o(a*b) = o(a) + o(b)
o(a/b) = o(a) - o(b)
o(a^n) = n*o(a)
...
et bien sûr o(1) = 0 , le nombre 1 ne possédant aucun diviseur premier
enfin, o(0) = infini, puisque 0 est divisible par tous les nombres premiers

Enfin, le dernier élément est un joli graphique, qui montre l'allure de la fonction d'ordre (en bleu) entre 1 et 132 (pourquoi 132 ? et bien parce que j'ai eu la flemme d'aller plus loin...)


Cliquez sur l'image pour l'aggrandir

Lorsque j'ai vu cette courbe, j'ai d'abord pensé à une sorte de fractale et puis j'ai essayé de borner de différentes manières la fonction d'ordre, histoire d'en savoir un peu plus. (courbes en rouge, vert et jaune) Pour la petite histoire, ce magnifique graphique a été réalisé avec le logiciel libre VisualMaths, que vous pouvez télécharger gratuitement sur sourceforge

En travaillant sur ce graphique, j'ai donc essayé de calculer une suite de fonctions qui permettent de majorer la fonction d'ordre à plusieurs niveaux :

La fonction d'ordre atteint un maximum local à chaque fois que n est une puissance de deux : en effet, le plus petit nombre entier ayant k diviseurs premiers n'est autre que 2^k. Avec un peu de calcul, on obtient que la fonction qui majore au mieux o(n) est f2(t) = ln(t)/ln(2), il s'agit de la fonction en
rouge sur le graphique.

Ensuite, si on élimine ces maximums, que reste t'il ? Quels sont les nombres les plus petits, d'ordre k, mais n'étant pas de la forme 2^k ? Les nombres de la forme 3*2^(k-1) (autrement dit, on remplace un deux par un trois)

On obtient alors la fonction f3, qui majore les points restants (en vert) : f3(t) = ln(t/3)/ln(2)+1

Ma supposition est qu'on pourrait (peut-être) trouver une formule générale de la fonction fa (a étant l'indice, nous connaissons déjà f2 et f3).

Je n'ai malheureusement pas encore eu le temps (ou le courage) de creuser cette question, j'ai juste calculé f4 (en orange) :

f4(t) = ln(t/4.5)/ln(2)+1

Il me paraît encore difficile de faire un pronostic sur la généralisation de cette formule, car la fonction f4 par exemple a un gros inconvénient : elle ne majore pas 5 (f4(1) = 4.5). Pourtant elle majore au mieux tout le reste de la fonction d'ordre.

En conclusion, je ne sais pas si cette approche peut réellement m'apporter quelque chose à la compréhension de la répartition des nombres premiers. Mais j'aime assez l'idée d'étudier la fonction d'ordre et peut-être de pouvoir avoir plus d'informations sur la répartition des nombres premiers en étudiant également la répartition des autres nombres.

Je pense en fait que cette approche est un peu similaire à celle du crible d'eratosthène (supprimer tous les nombres divisibles par deux, puis par trois ... afin qu'il ne reste que les nombres premiers). Mais quand on sait que le crible d'érathosthène est un algorithme à temps exponentiel, cela ne présage rien de bon quant à l'efficacité de cette méthode pour étudier les nombres premiers. A moins peut-être de savoir généraliser et utiliser correctement les fonctions que j'ai appelé fa, ou éventuellement de tenter une autre approche sur cette fonction d'ordre.

Si vous n'avez rien, mais vraiement rien d'autre à faire ;) vous pouvez m'envoyer vos tables de la fonction d'ordre pour des valeurs supérieurs à 132, cela me permettra de continuer mon délire...euh je veux dire mon étude !

J'attends aussi vos commentaires sur l'approche "standard", sur mon approche modeste et sur d'autres approches qui pourraient être intéressantes, le but étant d'essayer de trouver l'approche la plus simple sans pour autant qu'elle soit triviale.

Amusez-vous bien et à très bientôt.

A quoi ressemble l'univers ?

J'ai eu envie de faire le point sur ce que je "pense savoir" (ou que mon intuition me dicte) de l'Univers, voici une petite liste pêle-mêle de ce que je pense être vrai concernant l'Univers :

1. L'Univers est de dimension finie
2. L'Univers n'est pas borné (il ne contient pas sa frontière)
3. L'affirmation selon laquelle l'Univers n'est pas borné est équivalente à dire que L'Univers est borné par l'ensemble vide (le néant)
4. L'Univers est né du néant (conséquence du point 3)
   
5. Le néant est un point de dimension nulle
6. L'Univers est une hypersphère de dimension 3, plongée dans un espace à 4 dimensions (qu'on ne peut visualiser)
   

Les points 1 et 2 sont suggérés par Stephen Hawking, dans l'excellent livre "Une Brêve Histoire du Temps", il s'agit bien sûr d'une hypothèse mais qui m'a bien séduite. Il semble y avoir un consensus à ce sujet, mais je ne sais pas si ces points sont réellement reconnus par le modèle standard.

Le point 3 est une manière que j'ai trouvé pour reformuler le point 2. Cela m'a semblé correct d'un point de vue strictement logique.

Les points 4 et 5 m'ont été "inspirés" du livre très controversé "Avant le Big Bang" écrit par les frères Bogdanov (j'écrirai prochainement un petit billet sur ce bouquin histoire que tout le mon de puisse se défouler...) :

• Le point 4 est comme indiqué, une conséquence du point 3, mais également une application du principe d'économie pour un modèle du Big Bang plus "élégant". Malheureusement, ce point ne semble pas applicable à la "réalité" (mur de planck).
• Le point 5 me semble correct , mais un peu paradoxal : le néant (ensemble vide) peut-il réellement être considéré comme un point de dimension nulle ? Il faudrait creuser la question à l'aide de la topologie...
  

Le dernier point est une hypothèse assez communément admise, également évoquée dans "Une brève histoire du temps" et que j'ai pu appronfondir grâce à une livre de vulgarisation en topologie, "Grigori Perelman face à la conjecture de Poincaré", qui retrace entre-autres la résolution d'un des septs problèmes du millénaire.

Je lis en ce moment "Même pas fausse" (Peter Woit) qui explique plus en détail la théorie des cordes, des avancées et ses limites. Je complèterai peut-être ma liste à la fin de la lecture.

En attendant, n'hésitez pas à mettre en ligne votre propre liste, à me dire quels points vous pensez vrais, faux ou indécidables, ou encore à me dire quels points vous modifierez et dans quel ordre vous les mettriez.

Théorie du Tout Espace-Temps

J'ai eu tout à l'heure une idée apparemment "folle" (quoi que peut-être pas tant que çà, vu que je ne suis apparemment pas le seul à avoir eu cette idée là...) bref, voici cette idée :

Est si la matière n'était qu'une propriété (plus précisément une courbure extrêmement locale) de l'espace-temps ?

Voici maintenant quelques unes des idées connexes à cette hypothèse :

La physique actuelle n'arrive pas à unifer d'un côté l'approche discrète de la matière (chromodynamique quantique) de l'approche continue de l'espace-temps (relativité générale). L'objectif de la théorie du "Tout" est cette unification, donc on sera à terme amené à conclure soit que la matière est une propriété de l'espace, soit l'inverse.

J'ai alors repensé à la théorie de la relativité générale, qui affirme que la gravité est en fait une propriété de l'espace-temps. C'est la matière, répartie de manière "irrégulière" (cet aspect là est également un mystère, bien qu'on puisse peut-être le justifier avec l'argument anthropique, mais c'est un autre débat...), donc c'est la matière qui courbe l'espace-temps. Autrement dit, dans cette approche, on considère que la gravité est une conséquence de la matière, sans qu'il y ait la moindre justification à cette assertion logique.

Ne pourrait-on pas dire, avec la même rigueur que la présence de matière est une conséquence de la courbure de l'espace-temps ?

Etudier l'univers reviendrait à étudier la courbure de l'espace-temps en tout point (avec un champs de vecteur j'imagine...).

Ou bien, ce qui revient évidemment au même étudier l'énergie (ou la masse) en tout point.

Je vais tenter d'étayer cette hypothèse, avec des arguments plus ou moins personnels dont certains, je le reconnais, tiennent plus de l'intuition que du raisonnement, mais allons y à fond :

- Le modèle standard suggère que les trous noirs sont des déchirures de l'espace temps, donc ce ne sont pas eux-mêmes de la matière. Pourtant, on peux calculer leur masse, ce qui montre bien que la courbure de l'espace-temps peut engendrer de la masse (donc, mais je n'ose le dire, de la "matière").

- L'approche continue pourrait sembler plus appropriée et plus élégante pour fournir une théorie du Tout : la mécanique quantique et la physique expérimentale ont engendré des dizaines (voire des centaines) de particules "élémentaires", ce qui à mon avis devrait suffire à démontrer que ce n'est pas une théorie assez "élégante".

- La théorie des cordes, pour corriger ce problème, amène l'idée d'une particule élémentaire : la corde (ou membrane suivant les variantes). Le problème de la théorie des cordes - d'après les faibles connaissances que j'en ai - serait que pour générer toutes les particules observées expérimentalement, elle a dû introduire 6 dimensions supplémentaires qui existent à des échelles quantiques et qui s'ajoutent aux quatre dimensions "macroscopiques" que nous suggèrent notre intuition. Elle est valable localement, mais les calculs sont apparemment tellement complexes qu'il semble difficile de l'appliquer à la compréhension globale de l'univers. La théorie des cordes là encore, me semble un peu trop complexe et pour tout dire assez peu intuitive : à moins d'une erreur de ma part, la corde est une particule de dimension 1, autrement dit, un fil.

- Il faut cependant reconnaître que la matière à des petites échelles se comporte de manière corpusculaire (électrons, photons, nucléons ...) la question que je me pose est : existe t-il une fonction d'onde pour chaque particule qui pourrait remplacer son aspect corpusculaire, quitte éventuellement à ce que cette fonction soit composée de fonctions non continues comme la fonction delta de Dirac ? Il faudra très certainement que je me documente davantage sur cette question.

En résumé, dans cette hypothèse, je vois la théorie du Tout comme une équation qui donne l'évolution d'un champs de vecteurs, généré à partir de l'ensemble vide, à l'échelle 0 (ou au temps zéro si vous préférez) vers l'état actuel de l'univers.